ECOLE POLYTECHNIQUE – Promotion 2008

Le sujet se compose de deuxprobì emes totalement indépendants. Il compte 8 pages en tout. Chaqueprobì eme està rédiger sur des copies de couleurs distinctes, roses pour leprobì eme 1 et vertes pour leprobì eme 2. Notations et Rappels. On considère Ω un ouvert borné régulier (de classe C ∞) de R d , et L 2 (Ω) l'espace des fonctions de carré intégrable sur Ω. On notera < u, v >= Ω u(x)v(x) dx, et ||u|| L 2 = (< u, u >) 1 2 respectivement le produit scalaire de deux fonctions u et v de L 2 (Ω) et la norme associée. On notera par ailleurs H 1 0 (Ω) l'espace de Sobolev classique des fonctions qui admettent une dérivée (faible) dans L 2 (Ω) et dont la trace est nulle sur le bord ∂Ω. On munit H 1 0 (Ω) du produit scalaire ∀u, v ∈ H 1 0 (Ω), a(u, v) = Ω ∇u(x) · ∇v(x) dx , et on note la norme associée ||u|| H 1 0. Dans la suite, on posera λ(u) = ||u|| 2 H 1 0 = Ω |∇u(x)| 2 dx pour u ∈ H 1 0 (Ω).